Új hozzászólás Aktív témák

• #2918 Jester01 veterán zuzu000 #2917

  Új Válasz 2012-11-05 21:54:23 #2918

  Új hozzászólás

  Összes hozzászólása itt Válaszok az összes hozzászólására itt Válaszok erre a hozzászólásra

  Privát üzenet küldése

  

  Jester01

  veterán

  válasz zuzu000 #2917 üzenetére

  Szép feladat

  Lásd a mellékelt ábrát:
  

  A négyzet oldala legyen a.
  Nézzük először az ABP háromszöget. A feladat szerint ennek a területe harmada a négyzetének, vagyis a*BP / 2 = a*a / 3, innen BP=2a/3. Ugyanígy DQ is, az AQD háromszögből, továbbá PC=CQ=a/3. PBE hasonló PCQ-hoz, tehát BE=BP=2a/3. ABS hasonló AEP-hez, vagyis AS / SP = AB / BE = a / (2a/3) = 3 / 2. Tehát az átló a szakaszokat 3 : 2 arányban osztja.

  A második részben az ASR háromszögbe beírt kör területe kellene. Ehhez előbb nézzük az APQ hasonló háromszöget, majd később arányosítjuk. Ismert képlet alapján a háromszög területe TAPQ=r * s = r * (AP + AQ + PQ) / 2 = r * (AP + PQ / 2), ahol r a beírt kör sugara, s pedig a fél kerület. Pitagorasz képlettel AP = gyök(a^2 + BP^2) = gyök(a^2 + 4a^2/9) = gyök(13)/3*a. PQ pedig gyök(2)/3*a. Továbbá TAPQ=TAPCQ - TPCQ=a^2/3 - a^2/18 = 5/18 * a^2. A beírt kör sugara tehát r = TAPQ / (AP + PQ / 2) = (5/18 * a^2) / (gyök(13)/3 * a + gyök(2) / 6 * a) = 5/18 / (gyök(13)/3 + gyök(2) / 6) * a = 5 / (6gyök(13) + 3gyök(2)) * a ~ 0.19a. Az ASR háromszög ugye 3/5 arányban kisebb, így a beírt kör sugara is, ami így kb. 0.11a. A kör területe a sugár négyzetével arányos, a négyzetbe pedig a/2 sugarú kör fér. Innen a kért arány már adódik, nagyjából (a^2/4) / (0.11a)^2 ~ 20 : 1, a pontos számítást az olvasóra bízom

  Jester

Új hozzászólás Aktív témák